15 апреля 2007 года - 300-летие Леонарда Эйлера

"Читайте Эйлера - это наш общий учитель".

П.С. Лаплас

"Изучение всех работ Эйлера останется навсегда лучшей, ничем не заменимой, школой в различных областях математики".

К.Ф. Гаусс

"Его имя может погибнуть только вместе с самой наукой".

Н.И. Фусс

"Вместе с Петром I и Ломоносовым Эйлер стал добрым гением нашей Академии, определившим ее славу, ее крепость, ее продуктивность". 

Академик С.И. Вавилов

"Творчество Эйлера изумительно и в науке беспримерно". 

Академик А.Н. Крылов

Эйлер (Euler) Леонард [4(15).4.1707, Базель, Швейцария, - 7(18).9.1783, Петербург], великий математик, механик и физик.

Следуя историку-механику Г.К. Михайлову заметим, что фамилия ЭЙЛЕР в подлинном произношении звучит как «Ойлер».

Леонард Эйлер родился в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Образование получил сначала у отца (который в молодости занимался математикой под рук. Я. Бернулли), а в 1720-24 гг. в Базельском университете, где слушал лекции по математике И. Бернулли.

В конце 1726 году Эйлер был приглашен в Петербургскую АН и в мае 1727 г. приехал в Петербург. В только что организованной академии Эйлер нашёл благоприятные условия для научной деятельности, что позволило ему сразу же приступить к занятиям математикой и механикой. За 14 лет первого петербургского периода жизни Эйлер подготовил к печати около 80 трудов и опубликовал свыше 50. В Петербурге он изучил русский язык.

Эйлер участвовал во многих направлениях деятельности Петербургской АН. Он читал лекции студентам академического университета, участвовал в различных технических экспертизах, работал над составлением карт России, написал общедоступное «Руководство к арифметике» (нем. изд. 1738-40, рус. пер. ч. 1-2, 1740). По специальному поручению академии Эйлер подготовил к печати «Морскую науку» (ч. 1-2, 1749) - фундаментальный труд по теории кораблестроения и кораблевождения.

В 1741 г. Эйлер принял предложение прусского короля Фридриха II переехать в Берлин, где предстояла реорганизация АН. В Берлинской АН Эйлер занял пост директора класса математики и члена правления, а после смерти её первого президента П.Л. Мопертюи несколько лет (с 1759 г.) фактически руководил академией. За 25 лет жизни в Берлине он подготовил около 300 работ, среди них ряд больших монографий.

Живя в Берлине, Эйлер не переставал интенсивно работать для Петербургской АН, сохраняя звание её почётного члена. Он вёл обширную научную и научно-организационную переписку, в частности переписывался с М.В. Ломоносовым, которого высоко ценил. Эйлер редактировал математический отдел русского академического научного органа, где опубликовал за это время почти столько же статей, сколько в «Мемуарах» Берлинской АН. Он деятельно участвовал в подготовке русских математиков; в Берлин командировались для занятий под его руководством будущие академики С.К. Котельников, С.Я. Румовский и М. Софронов. Большую помощь Эйлер оказывал Петербургской АН, приобретая для неё научную литературу и оборудование, ведя переговоры с кандидатами на должности в академии и т.д.

17(28) июля 1766 года Эйлер вместе с семьей вернулся в Петербург. Несмотря на преклонный возраст и постигшую его почти полную слепоту, он до конца жизни продуктивно работал. За 17 лет вторичного пребывания в Петербурге им было подготовлено около 400 работ, среди них несколько больших книг. Эйлер продолжал участвовать и в организационной работе академии. В 1776 он был одним из экспертов проекта одноарочного моста через Неву, предложенного И.П. Кулибиным, и из всей комиссии один оказал широкую поддержку проекту.

Леонард Эйлер(15.04.1707, Базель, Швейцария - 18.09.1783, Петербург, Россия).  Портретная галерея

Заслуги Эйлера как крупнейшего учёного и организатора научных исследований получили высокую оценку ещё при его жизни. Помимо Петербургской и Берлинской академий, Эйлер состоял членом крупнейших научных учреждений - Парижской АН, Лондонского королевского общества и многих других.

Одна из отличительных сторон творчества Эйлера - его исключительная продуктивность. Только при жизни Эйлера было опубликовано около 550 его книг и статей (список трудов Эйлера содержит примерно 850 названий). В 1909 Швейцарское естественно-научное общество приступило к изданию полного собрания сочинений Эйлера, которое было завершено в 1975 г.; оно состоит из 72 томов. Большой интерес представляет и колоссальная научная переписка Эйлера (около 3000 писем), которая до сих пор опубликована лишь частично.

Необыкновенно широк был круг занятий Эйлера, охватывавших все отделы современной ему математики и механики, теорию упругости, математическую физику, оптику, теорию музыки, теорию машин, баллистику, морскую науку, страховое дело и т.д.

Около ³/₅ работ Эйлера относится к математике, остальные ²/₅ преимущественно к её приложениям. Свои результаты и результаты, полученные другими, Эйлер систематизировал в ряде классических монографий, написанных с поразительной ясностью и снабженных ценными примерами.

Таковы, например, «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» (т. 1-2, 1736), «Введение в анализ» (т. 1—2, 1748), «Дифференциальное исчисление» (1755), «Теория движения твёрдого тела» (1765), «Универсальная арифметика» (т. 1—2, 1768—69), выдержавшая около 30 изданий на 6 языках, «Интегральное исчисление» (т. 1—3, 1768—70, т. 4, 1794) и др.

Первое издание Механики  Л. Эйлера	Титульный лист Механики Л. Эйлера

В XVIII-XIX веках огромную популярность приобрели общедоступные «Письма о разных физических и филозофических материях, писанные к некоторой немецкой принцессе...» (ч. 1—3, 1768-74), которые выдержали свыше 40 изданий на 10 языках. Большая часть содержания монографий Эйлера вошла затем в учебные руководства для высшей и частично средней школы.

Невозможно перечислить все и сегодня употребляемые теоремы, методы и формулы Эйлера, из которых только немногие фигурируют в литературе под его именем. Отметим лишь наиболее известные: Эйлера метод ломаных, Эйлера подстановки, Эйлера постоянная, Эйлера уравнение, Эйлера уравнения (в гидромеханике), Эйлера формулы, Эйлерафункция, Эйлера числа в математике, Эйлера число, Эйлера - Маклорена формула, Эйлера - Фурье формулы, Эйлерова характеристика, Эйлеровы интегралы, Эйлеровы углы.

В «Механике»Эйлер впервые изложил динамику точки при помощи математического анализа. В 1-м томе этого сочинения рассмотрено свободное движение точки под действием различных сил как в пустоте, так и в среде, обладающей сопротивлением; во 2-м - движение точки по данной линии или по данной поверхности; большое значение для развития небесной механики имела глава о движении точки под действием центр. сил.

В 1744 году Эйлер впервые корректно сформулировал механический принцип наименьшего действия и показал его первые применения.

В «Теории движения твёрдого тела» Эйлер разработал кинематику и динамику твёрдого тела и дал уравнения его вращения вокруг неподвижной точки, положив начало теории гироскопов.

В своей теории корабля Эйлер внёс ценный вклад в теорию устойчивости.

Значительны открытия Эйлер в небесной механике (например, в теории движения Луны), механике сплошных сред (основные уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера и в так называемых переменных Лагранжа, колебания газа в трубах и пр.).

В 1747 году в оптике Эйлер дал формулу двояковыпуклой линзы, предложил метод расчёта показателя преломления среды. Эйлер придерживался волновой теории света. Он считал, что различным цветам соответствуют разные длины волн света. Эйлер предложил способы устранения хроматических аберрации линз и в 3-й части «Диоптрики» дал методы расчёта оптических узлов микроскопа.

Обширный цикл работ, начатый в 1748 г., Эйлер посвятил математической физике: задачам о колебании струны, пластинки, мембраны и др. Все эти исследования стимулировали развитие теории дифференциальных уравнений, приближённых методов анализа, специальных функций, дифференциальной геометрии и т.д.  Многие математические открытия Эйлера содержатся именно в этих работах.

Главным делом Эйлера как математика явилась разработка математического анализа. Он заложил основы нескольких математических дисциплин, которые только в зачаточном виде имелись или вовсе отсутствовали в исчислении бесконечно малых И. Ньютона, Г.В. Лейбница, Я. и И. Бернулли.

Так, Эйлер первый ввёл функции комплексного аргумента («Введение в анализ», т. 1) и исследовал свойства основных элементарных функций комплексного переменного (показательные, логарифмические и тригонометрические функций); в частности, он вывел формулы, связывающие тригонометрические функции с показательной. Работы Эйлер в этом направлении положили начало теории функций комплексного переменного.

Эйлер явился создателем вариационного исчисления, изложенного в работе «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума...» (1744).

После работ Ж. ЛагранжаЭйлер далее развил вариационное исчисление в «Интегральном исчислении» и ряде статей. Метод, с помощью которого Эйлер в 1744 году вывел необходимое условие экстремума функционала - уравнение Эйлера, явился прообразом прямых методов вариационного исчисления XX века. 

Эйлер создал как самостоятельную дисциплину теорию обыкновенных дифференциальных уравнений и заложил основы теории уравнений с частными производными. Здесь ему принадлежит огромное число открытий: классический способ решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами, метод вариации произвольных постоянных, выяснение основных свойств уравнения Риккати, интегрирование линейных уравнений с переменными коэффициентами с помощью бесконечных рядов, критерии особых решений, учение об интегрирующем множителе, различные приближённые методы и ряд приёмов решения уравнений с частными производными. Значительную часть этих результатов Эйлер собрал в своём «Интегральном исчислении».

Эйлер обогатил также дифференциальное и интегральное исчисление в узком смысле слова (например, учение о замене переменных, теорема об однородных функциях, понятие двойного интеграла и вычисление многих специальных интегралов). В «Дифференциальном исчислении» Эйлер высказал и подкрепил примерами убеждение в целесообразности применения расходящихся рядов и предложил методы обобщённого суммирования рядов, предвосхитив идеи современной строгой теории расходящихся рядов, созданной на рубеже XIX-XX веков. Кроме того, Эйлер получил в теории рядов множество конкретных результатов. Он открыл так называемую формулу суммирования Эйлера - Маклорена, предложил преобразование рядов, носящее его имя, определил суммы громадного количества рядов и ввёл в математику новые важные типы рядов (например, тригонометрические ряды). Сюда же примыкают исследования Эйлера по теории непрерывных дробей и других бесконечных процессов.

Эйлер является основоположником теории специальных функций. Он первым начал рассматривать синус и косинус как функции, а не как отрезки в круге. Им получены почти все классического разложения элементарных функций в бесконечные ряды и произведения. В его трудах создана теория гамма-функции. Он исследовал свойства эллиптических интегралов, гиперболических и цилиндрических функций, дзета-функции, некоторых тета-функций, интегрального логарифма и важных классов специальных многочленов.

По замечанию П.Л. Чебышева, Эйлер положил начало всем изысканиям, составляющим общую часть теории чисел, к которой относится свыше 100 мемуаров Эйлера. Так, Эйлер доказал ряд утверждений, высказанных П. Ферма (например, Ферма малая теорема), разработал основы теории степенных вычетов и теории квадратичных форм, обнаружил (но не доказал) квадратичный закон взаимности (см. Квадратичный вычет) и исследовал ряд задач диофантова анализа. В работах о разбиении чисел на слагаемые и по теории простых чисел  Эйлер впервые использовал методы анализа, явившись тем самым создателем аналитической теории чисел. В частности, он ввёл дзета-функцию и доказал так называемое тождество Эйлера, связывающее простые числа со всеми натуральными.

Велики заслуги Эйлера и в других областях математики. В алгебре ему принадлежат работы о решении в радикалах уравнений высших степеней и об уравнениях с двумя неизвестными, а также так называемое тождество Эйлера о четырёх квадратах. Эйлер значительно продвинул аналитическую геометрию, особенно учение о поверхностях 2-го порядка. В дифференциальной геометрии он детально исследовал свойства геодезических линий, впервые применил натуральные уравнения кривых, а главное, заложил основы теории поверхностей. Эйлер ввёл понятие главных направлений в точке поверхности, доказал их ортогональность, вывел формулу для кривизны любого нормального сечения, начал изучение развёртывающихся поверхностей и т.д.; в одной посмертно опубликованной работе (1862) он частично предварил исследования К.Ф. Гаусса по внутренней геометрии поверхностей. Эйлер занимался и отдельными вопросами топологии и доказал, например, важную теорему о выпуклых многогранниках.

Эйлера-математика нередко характеризуют как гениального «вычислителя». Действительно, он был непревзойдённым мастером формальных выкладок и преобразований, в его трудах многие математические формулы и символика получили современный вид (например, ему принадлежат обозначения для чисел "е" и "пи"). Однако Эйлер был не только исключительной силы «вычислителем». Он внёс в науку ряд глубоких идей, которые ныне строго обоснованы и служат образцом глубины проникновения в предмет исследования.

По выражению П.С. Лапласа, Эйлер явился учителем математиков 2-й половины XVIII века. От его работ непосредственно отправлялись в разнообразных исследованиях П.С. Лаплас, Ж.Л. Лагранж, Г. Монж, А.М. Лежандр, К. Ф. Гаусс, позднее О. Коши, М.В. Остроградский, П.Л. Чебышёв и др. Русские математики высоко ценили творчество Эйлера, а деятели чебышёвской школы видели в Эйлере своего идейного предшественника в его постоянном чувстве конкретности, в интересе к конкретным трудным задачам, требующим развития новых методов, в стремлении получать решения задач в форме законченных алгоритмов, позволяющих находить ответ с любой требуемой степенью точности.

Эйлер вырастил трех сыновей. Старший из них был петербургским академиком по кафедре физики, второй – придворным врачом, а младший – артиллерист дослужился до чина генерал-лейтенанта. Почти все потомки Эйлера приняли в XIX в. российское подданство. Среди них были высшие офицеры российской армии и флота, а также государственные деятели и ученые. Лишь в смутное время начала XX в. многие из них вынуждены были эмигрировать. Сегодня прямые потомки Эйлера, носящие его фамилию, все еще живут в России и Швейцарии.

Эйлер скончался от инсульта и был похоронен на Смоленском лютеранском кладбище. Академия заказала известному скульптору Д.Рашетту, хорошо знавшему Эйлера, мраморный бюст покойного, а княгиня Дашкова подарила мраморный пьедестал. «Похвальное слово» Эйлеру подготовил и произнес Н.И. Фусс. Осенью 1956 года в связи с 250-летием со дня рождения Эйлера его прах и памятник, поставленный Академией в 1837 году, были перенесены в Некрополь Александро-Невской Лавры. Надпись на памятнике гласила: «Леонарду Эйлеру — Петербургская Академия».

Надгробный памятник Л.Эйлера в Некрополе при Свято-Троицкой Александро-Невской лавре в Санкт-Петербурге

18 сентября 1783 года по высказыванию философа и математика Ж.М.А. Н. Кондорсе "гений перестал вычислять и жить".

 

Сочинения: Opera omnia... Series 1 - Opera mathematica, v. 1-29, Lausannae, 1911-56, Series 2 - Opera mechanica et astronomica, v. 1-30, В.- Lpz., 1912-74, Series 3 - Opera physica, Miscellanae epistolae, v. 1-12, Lausannae, 1911-73, Series  - Commercium epistolicum, v. 1, 1975; в рус. переводе - Универсальная арифметика, т. 1-2, СПБ, 1768-69; Полное умозрение строения и вождения кораблей, сочиненное в пользу учащихся навигации..., СПБ, 1778; Введение в анализ бесконечных, т. 1-2, М., 1961; Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле, М.-Л., 1934; Основы динамики точки, М.-Л., 1938; Новая теория движения Луны, Л., 1934; Дифференциальное исчисление, М.-Л., 1949; Интегральное исчисление, т. 1-3, М., 1956-58; Избранные картографические статьи, М., 1959.

Литература: Erneström G., Verzeichnis der Schriften Leonard Eulers, Lfg 1-2, Lpz., 1910-13 (Jahresbericht der Deutschen Mathematiker - Vereinigung. Ergänzungsband 4, Lfg 1-2) [лит.]; Fuss N., Eloge de monsieur Léonard Euler..., St. Pb., 1783 (лит.); в русском переводе - Похвальная речь покойному ЛеонардуЭйлеру..., в книге: Академические сочинения, выбранные из первого тома Деяний Академии наук, под заглавием: Nova Acta Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae, ч. 1, СПБ, 1801; Симонов Н. И., Прикладные методыа нализа у Эйлера, М., 1957; Леонард Эйлер. Собрание сочиненй, М., 1958; Рукописные материалы Л. Эйлера в Архиве Академии наук СССР, т. 1, М-Л., 1962; Юшкевич А.П., История математики в России до 1917 года, М., 1968.

Подготовлено проф. А.И. Боровковым по материалам статьи из 2-го издания БСЭ и многих других публикаций.